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[两性话题]从小学到研究生阶段的数学学习唯独学不会初中的平面几何是什么原因？ |
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对于数学的学习我有一个心结：其实从小学开始我的数学成绩也不是很好，但却一直是班里面课堂反应最好的之一吧，只是经常算错，也没在意。升到了市里最好的初中，… |
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我中学的时候也是平几不怎么样，高中联赛二试平几题基本没怎么动（虽然其他三题也没什么思路。。）现在回过头来总结一下，可能我们这类人的脑子天生就不太擅长图像处理。据说左脑主要控制逻辑思维、符号推理，右脑控制图像处理、几何直观。那我肯定是左脑比右脑发达。 几何直观强的人在看平面几何图像的时候，并不是先把图像转换成文字，然后再去记忆文字——比如说真正擅长观察的人不会先把图总结一下：“这里有个三角形，里面有个点，连了这些线，blabla”——他们直接就能处理整个图像，效率比我们高很多。而我们对图像的观察力、记忆力都更弱一些。平面几何的题目，要求我们记住常用的几何定理、几何结论，然后在需要处理的图像里面去寻找类似的模式。有些人就是更擅长找不同几何图像的相似之处，我们就是天生差一些。比如 在一幅很乱的图里面找隐蔽的物体那种任务，我经常也找不出几个。甚至包括我学围棋的时候，记定式、记常见棋型、记死活常型等等，都感觉要费力一些。 不过后来我进了数学专业之后，发现本科数学还是更强调抽象的逻辑推理，强调建立概念体系，而这是我更喜欢做的事情。所以本科学得还比较顺。到了研究阶段，发现微分几何领域真正的大牛，很多都是几何直观强同时逻辑思维也强的人。我非常佩服Thurston，Gromov这种几何拓扑大师，他们仅仅通过对几何图像的观察与想象，就能猜测出正确的数学结论，这实在是一种不多见的天赋。 送礼物 还没有人送礼物，鼓励一下作者吧 |
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先讲观点:出题人，做题人，课本作者，三者想的根本都不是一样东西。 出题人用建模软件出题，建模和建模软件本身是把图形转化为函数，用代数语言解析几何关系。因为选拔性考试又把难度提上去了，函数建模痕迹很重 但我们初中学习的是古典几何，是几百年前的东西 于是容易出现出题人和做题人思维的剥离，做初中几何题容易变成了“用上一代的数学工具解决当代问题”，模拟考试卷中最为明显，这实际上脱离了古典几何教育的初衷 然后各大教培，一线老师又不得不用古典几何为出题人出的题构建了大量的二级结论，以知识储备应对方法工具的落后。出题人为了避免被模型秒杀也往往从原有模型上面创新出题，于是一线老师的模型库继续更新，推陈出新。在老师和出题人的博弈中，学生做几何题方法越来越玄学，越来越迷糊 这个现象又是教育政策制定者，课本作者没想到的，课本作者希望初步构建学生的几何代数思想，提高探索与创新能力，培养情感态度价值观，在几何论证中体验诗与远方 所以出题人，做题人，课本作者，三者想的根本都不是一样东西 我个人比较建议初中古典平面几何这些落后的东西降低考核难度，提高函数方面的考核难度来区分学生 —— 学好初中平面几何其实有两种方法 而且初中平面几何和当地中考出题习惯有很大关系，当地中考方向可以决定培优课的备课方向，不像高考大同小异。 1.最常见的，刷模型，模型分类方面，学而思（好未来）喜欢把压轴题分为十个板块，星火教育喜欢分为四个大类，五年中考三年模拟喜欢提供通用笼统思路。 举一些例子，大家百度一下比如手拉手模型，会发现原来初中几何是那么奇妙 手拉手模型二级结论（全等，旋转类压轴），星火的周长最值问题→好未来的将军饮马等模型，面积割补问题→转化为点到直线问题，轨迹问题→待定系数构造关系。 初中平面几何最难的是轨迹待定系数问题，其特征是就算学过高中解析几何，构建坐标，对所有直线和圆函数建模，甚至用上余弦定理，也很难一下子做出来，像18年广州中考的压轴。 |
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你只能通过题目信息获取的提示:AE2=BE2+CE2→用构造直角三角形，存在多处相等边→可能会用上旋转，D是动点→构造与已知定值动态关系/抓住其不随动点改变的部分构建关系。这题的考场思路在评论区里 用最常规的初中思路去解题 你要是想学得好，最好的方法是报当地的大教培的培优班，教培其实非常熟悉当地中考出题方向，我有幸看过一些教培的授课教案，其实和广州中考的压轴题真的非常契合，我也清楚普通学生靠自己能力真的很难做出25题。 对于我来说，最怕评讲的题目就是:虽然自己做知道怎么做，参考答案看得懂，但之前模型上面没有总结，又没办法降维打击的题目，比如涉及余弦定理，涉及各种奇怪的等式求最值（带根号涉及指数函数，对的就是下面的18年24题），我答疑时候能编出一个自圆其说的“为什么要这样做”，但自己心里清楚学生后面自己遇到题目还是不会做。 |
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大量的模型积累 —— 然后我讲一下比较通用的破解方案 降维打击 先用高中的知识解决题目，再把超纲内容转改为初中方法 高中解析几何（左）和初中古典几何（右）对应关系举例: 构建直角坐标系→对垂直x轴y轴作垂直辅助线，或者有些地方其实直接构建坐标也不扣分 点到直线距离公式→割补法通过三角形等面积求距离，构造垂直线函数求距离 解析几何图形建模→题目中所有直线都可构造成一次函数，含未知数的直线直接待定系数 圆的解析式→设动点，令其与圆心距离相等，得出等式关系其实就是圆的解析式 —— 构建题目中所有点的坐标并且对所有直线建立函数关系式后，问什么求什么就行了，用计算量替代思维量，解析几何和古典几何最大区别就是不用作辅助线，不需要证明相似。 初中题目提供的信息只包含:长度关系，长度数值，角度关系，角度数值。把所有题目的说辞翻译成这四个信息 题目表达含义（左）和解析几何建模（右）对应关系: 长度→两点之间距离公式 相交→联立两条直线一次函数 平行→两直线斜率相等 垂直→两直线斜率相乘等于负一 全等→各个边长度相等 相似→对应边长度比例相等 角平分线→选角平分线上点作垂直于原来角两边，会出现全等三角形 cos60°→对边长度于邻边长度（可用两点之间距离求）为一比二 30,45,60,15→同上条 角度太奇怪→余弦定理（我暂时没找到初中方法快速解析余弦定理的途径）但显然初中题目中有非常多复杂的角度代换的题目其实可以考虑余弦定理的 —— 有了这些认识，再加上有一定的数形结合，待定系数思想 经过训练后，以广州卷为例，其实一半的压轴题可以降维打击，广州中考压轴题本身多存在动点，所以评分上面对构建坐标并不排斥，而每年选择填空题压轴题是必定可以用构建坐标解析几何做出来。 18年25题更是被解析几何秒杀，判卷中可能发现这个问题，19年开始有意避免题目直接出现垂直定线，以下都是广州中考可以降维打击的例子 |
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构建坐标系，求出所有点的坐标，用解析几何解题 |
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以AB为x轴，待定系数构建坐标直接秒杀 —— 提多一个函数题目观点，课本知识就那么多，大家试题难，尤其是函数觉得难的，很多时候是难在数学思想上。题海战术无用是因为只刷了知识，没刷方法和思想。数学方法数学思想其实不多，初中就数形结合，分类讨论，待定系数。高中加入了换元法，极限思想，向量概念，导数工具，临界（端点）讨论。做一道函数题从脑海里提取知识只是基本功，提取数学工具（方法）才是进阶操作。 像求sin2x+2sinx的最小值，从数形结合，换元，求导三个工具，各自有一种解题方法。聪明的学生能自己运用但可能说不出工具名字，普通学生可以通过训练来掌握工具 |
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我学习数学二十几年，使用数学半生，拿起女儿的初中平面几何还是难免有一个小时也做不出来的题目。 个人觉得正常，因为平面几何技巧性太强，抽象和逻辑性又太弱，和其它的数学分支几乎算是两门不同的学科了。偏科也很正常啊。所幸它对数学思维并没有太大影响，不太影响你的后续学习，别纠结了。 |
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这充分体现了解析几何的优越性：将各种难以洞察的技巧化为近乎机械化的程序，使几何学从学院里少数人的研究对象变成大众都能使用的工具，并且，也对进一步发展几何提供了手段和指明方向。 |
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传统几何真的是故纸堆，并不是说它是什么不良信息，而是对于一般人来说，在领会现代数学的思想方法之前，还是不要太早接触额外的容易引起误会的内容。 中学总是把所谓的几何和代数看作是两个截然不同的东西，似乎它们的联系完全是个偶然。但是早在几百年前，人们就已经将几何和其它数学作为整体，而一百年前又通过公理化集合论统一了所有的主要数学分支。如今当你提起数学时，已经不必说自己是什么流派的了。 另外一个误会是认为几何提倡直观，其它数学提倡推导，其实根本不是这样。任何数学都需要逻辑符合要求，并在这个基础上充分发挥直观的作用。难道积分的换元就不是直观吗？线性空间的直和就不是直观吗？完全依靠逻辑推导，什么数学都会学不下去。 我认为现在人们对现代数学的误会，有很大责任是在中学对所谓的几何的过分关注，以及知识面和考题都太过肤浅，让套路大行其道。 送礼物 还没有人送礼物，鼓励一下作者吧 |
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