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[工程技术知识]有哪些看起来简洁却很难的数学题？ |
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有哪些看起来简洁却很难的数学题？ 关注问题?写回答 [img_log] [img_log] 数学 数学史 趣味数学 数学难题 数学学习 有哪些看起来简洁却很难的数学题？ |
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求 ab+c+ba+c+ca+b=4" role="presentation">ab+c+ba+c+ca+b=4\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4 的 a,b,c" role="presentation">a,b,ca,b,c 正整数解。 |
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这是一组特别的题目，它们曾在莫斯科国立大学数学系的口试中用于筛选考生。这些题目的设计目的在于阻止犹太人以及其他不符合录取标准的人通过考试。在那些被用来淘汰不合格考生的题目中，这些题目之所以特别，是因为它们的解答方法虽然简单，但却很难被考生发现。通过设置这类简单却难以解答的题目，学校管理层得以避免收到更多的投诉和申诉。因此，这套题目不仅具有数学价值，也具有历史意义。 1975年夏天，当时我正在一个苏联的数学训练营里，为代表苏联参加国际数学奥林匹克竞赛做准备。就在那时，我们队里的队友们接到了来自莫斯科一所顶尖数学学校的数学老师瓦列拉·森德罗夫的求助请求。 莫斯科国立大学的数学系是俄罗斯最负盛名的数学学府，当时该系正竭力阻止犹太学生（以及其他被视为“不受欢迎的人”）进入该系就读。他们采用的手段之一就是在口试中给这些学生出一些特殊的问题——这些问题被精心设计成只有极少数人能够解答，而且其解答过程非常复杂、几乎不可能完成。任何无法解答这些问题的学生都很容易被拒之门外，因此这种制度成为控制招生人数的有效手段。这类数学问题在非正式场合被称为“犹太人难题”或“致命难题”；“致命难题”这个说法直接源自俄语，而在英语中它们也被称为“killer problems”。 当然，这些问题及其解决方法都被严格保密了，但瓦列拉·森德罗夫和他的朋友们还是设法收集到了相关问题的清单。1975年，他们找到我们，希望我们能够帮助解决这些问题，以便他们能够向犹太学生以及其他学生传授这些数学知识。我们这个由八名最优秀的苏联学生组成的团队，在接手这些问题的那个月里，只解决了其中的一半。诚然，我们当时还有其他更紧迫的任务需要处理，但这一事实足以说明这些问题的难度之高。 由于当时我还年轻，容易受到外界影响，因此这一系列事件真的让我深受震撼。我完全不知道竟然存在着如此明目张胆的歧视行为。除了当时努力去解决这些问题之外，这些经历也成为了我人生中最宝贵的财富——直到如今，我仍然保存着那本青绿色的笔记本。 后来，我移民到了美国。当我创建自己的网页时，首先做的其中一件事就是发布一些人们提出的问题。人们继续向我发送更多的问题，同时也为我之前提出的问题提供了相应的解答。结果发现，并非所有这些问题都有简单的解决方法：有些问题本身就是故意设置得模棱两可的；有些问题确实非常难解；还有一些问题的前提本身就是不合理的。这篇文章是从我的问题集里精选出来的内容——我们挑选了一些确实包含巧妙解题技巧或有趣思路的问题。 在苏联最顶尖的大学入学考试中，犹太学生遭到歧视，这一事实已有相关记录可查，可参考A. Shen [1]和A. Vershik [4]的研究。亚历山大在文章中列举了那些被提供给犹太申请者的难题；后来，伊兰·Vardi为这些题目提供了解答，详情可访问I. Vardi的个人主页[3]。这些文章以及其他相关资料后来被汇编成了一本书，书名为《你数学考试没及格，爱因斯坦同志：年轻数学家们的冒险与失误》，或译为《测试你的数学能力——这些题目几乎属于“休闲数学”范畴》[2]。 在目前的这个研究项目中，我们遇到的问题中只有一个与 Vardi 解决过的问题存在重叠之处；不过我们提出的解决方案不仅更为简单，而且也更加出人意料。 如今，三十年过去了，这些问题似乎变得容易解决了。这主要是因为，关于如何解决这些问题的方法已经得到了广泛传播，如今已经成为人们普遍接受的标准认知之一。三十年前，这些问题的解决难度要大得多；而且，学生们总是被接连不断地布置这类问题，直到他们其中某一道题做错，才会被判定为不及格。 为了让读者有机会尝试解决这些问题，我们将问题、关键思路以及解答方法分开了。第3节包含了21道题目；在第4节中，我们提供了这些题目的解答提示或关键思路；最后，第5节则提供了完整的解答方案。 |
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我发现了很多人都提到了一个问题 求： \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4 的正整数解 这个知乎上答案一搜一大堆，我就不写答案了 我的问题是 是否对于所有的正整数 k ，都存在互不相等的正整数满足 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=k 如果是，请给出证明，如果不是，那么 k 需要满足什么条件才能使该方程有解？ |
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2018保加利亚竞赛第三题 |
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看上去很难，实际上一点也不简单 |
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之前我们班毕业旅行的时候有个人说了个线性代数题，硬控了我们好几天， 说A和B是两个方阵，A^2+B^2=2AB，证明A和B的行列式相等。 看着形式挺简单，初见觉得就是个搞一搞就出来的线性代数，做一做发现没那么容易，最后在复习李代数的时候突然想出来其实就是lie theorem+Engel theorem，先算出来它俩生成李代数的交换子每个矩阵都是幂零的，所以整体幂零，于是A，B生成的李代数可解，所以可以同时上三角化，于是证毕。 此后别人但凡说道线性代数，我经常把这个小题拿给他做，以达成促进道心破碎的作用。也许这个题有简单的线性代数解法，然而我太菜了想不出来，大佬轻喷） |
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